Matematicas Discretas y Algebra Lineal: Espacios Vectoriales y Numeros complejos

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Dado un espacio vectorial $V \;$ sobre un cuerpo $K \;$ , se distinguen.

Los elementos de $V \;$ como:

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots \; \in V$ se llaman vectores.

Caligrafias de otras obras

$\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}, \dots \; \in V$

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \dots \; \in V$

Los elementos de $K \;$ como:

$\mathit{a}, \mathit{b}, \mathit{c}, \dots \; \in K$ se llaman escalares.

Los espacios vectoriales tienen propiedades que son inalterables y que le dan su distintiva forma de operar, algunos de los mas imporatntes son:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} , \quad \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V$

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

$(u_x, u_y) + (v_x, v_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

$(u_x + v_x, u_y + v_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

$(v_x + u_x, v_y + u_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

$(v_x, v_y) + (u_x, u_y) = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

$\mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$

2) La propiedad asociativa:

$(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}= \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$

$\Big( (u_x, u_y) + (v_x, v_y) \Big) + (w_x, w_y) = (u_x, u_y) + \Big( (v_x, v_y) + (w_x, w_y) \Big)$

$(u_x + v_x, u_y + v_y) + (w_x, w_y)= (u_x, u_y) + (u_x + v_x, u_y + v_y) \;$

$(u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) = (u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) \;$

3) tiene elemento neutro $\mathbf{0}$ :

$\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$

$(u_x, u_y) + (0, 0) = (u_x + 0, u_y + 0) = (u_x, u_y) \;$

4) tenge elemento opuesto:

$\mathbf{u} = (u_x, u_y)$

$\mathbf{-u} = (-u_x, -u_y)$

$\mathbf{u} + ( \mathbf{-u}) = (u_x, u_y) + (-u_x, -u_y) = (u_x - u_x, u_y - u_y) = (0, 0) = \mathbf{0}$

La operación producto por un escalar:

$\begin{matrix} \mbox{Producto} & \cdot : & R \times V & \longrightarrow & {V} \\ & & \mathit{a} \cdot \mathbf{u} & \mapsto & \mathbf{v} \end{matrix}$

El producto de a y u será:

$\mathit{a} \cdot \mathbf{u} = a \cdot (u_x, u_y) = (a \cdot u_x, a \cdot u_y) = (v_x, v_y) = \mathbf{v}$

donde:

$\begin{array}{l} v_x = a \cdot u_x \\ v_y = a \cdot u_y \end{array}$

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como $\scriptstyle \mathbb{C}$ , siendo $\scriptstyle \mathbb{R}$ el conjunto de los reales se cumple que $\scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que $(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)$ , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

$\mathrm{i} = (0, 1) \,\!$

De donde se deduce inmediatamente que,

$\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$

Representación binómica

Un número complejo se representa en forma binomial como:

$z = a + bi \,$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

$a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)$

$b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)$

Representación polar

En esta representación, $\textstyle{r}$ es el módulo del número complejo y el ángulo $\textstyle{\phi}$ es el argumento del número complejo.

$\textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan \left( \frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right) = -\arctan \left ( \frac{-\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right)$

$\cos \phi = \frac{a}{r} \ , \ \sin \phi = \frac{b}{r}$

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

$z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}$

Sacamos factor común r:

$z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

$\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}$

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} = e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}$

No obstante, el ángulo $\phi$ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

$\forall{k}{\in}\mathbb{Z}\; z= e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $\phi$ al intervalo [-π, π) y a éste $\phi$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

Matematicas Discretas y Algebra Lineal

domingo, 17 de febrero de 2013

Espacios Vectoriales y Numeros complejos

Unidad imaginaria

Representación binómica

Representación polar

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